K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 1 2017

ĐKXĐ : \(a+b\ne0;a+c\ne0;b+c\ne0.\)

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x-ab}{a+b}-c\right)+\left(\frac{x-ac}{a+c}-b\right)+\left(\frac{x-bc}{b+c}-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\frac{x-ac-ab-bc}{a+c}+\frac{a-bc-ab-ac}{b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-bc-ca\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=0\)

\(\left(1\right)\) có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0.\left(2\right)\)

Chẳng hạn ta chọn \(a=1,b=1.\)Để ( 2 ) xảy ra ta chọn c sao cho :

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{1+c}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow c=-5.\)

Như vậy \(\left(1\right)\) có vô số nghiệm , chẳng hạn khi \(a=1,b=1,c=-5.\)

2 tháng 1 2017

....................................................................................................................................................................................................................................

1 tháng 2 2017

Giải

Điều kiện xác định phương trình:

\(a+b\ne0\) ; \(a+c\ne0\) ; \(b+c\ne0\)

\(\frac{x-ab}{a+b}+\frac{x-ac}{a+c}+\frac{x-bc}{b+c}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-ab}{a+b}-c\right)+\left(\frac{x-ac}{a+c}-b\right)+\left(\frac{x-bc}{b+c}-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\frac{x-ac-cb-bc}{a+c}+\frac{x-bc-ab-ac}{b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-bc-ca\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0\)

Chẳng hạn ta chọn a = 1 ; b = 1. Để \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0\) xảy ra ta chọn c sao cho:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{1+c}=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow c=-5\)

Như vậy phương trình có vô số nghiệm, chẳng hạn khi a = 1 ; b = 1 ; c = -5

7 tháng 12 2017

Đây nhé: https://olm.vn/hoi-dap/question/77888.html

21 tháng 10 2017

đăngg nhiều vậy linh, mà  đã làm đến đề đó rồi cơ à chăm thế

11 tháng 4 2017

cong lai nhu phep cong tuy hoi do nhung van ra

14 tháng 7 2018

khó quá, không giải được

14 tháng 7 2018

Em không chắc lắm

\(ĐKCĐ:a+b\ne0;a+c\ne0;b+c\ne0\)

\(\frac{x-ab}{a+b}+\frac{c-ac}{a+c}+\frac{x-bc}{b+c}=a+b+c\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-ab}{a+b}-c\right)+\left(\frac{x-ac}{a+c}-b\right)+\left(\frac{x-bc}{b+c}-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-ab-ac-bc}{a+b}+\frac{x-ac-ab-bc}{a+c}+\frac{x-bc-ab-ac}{b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-ab-bc-ac\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=0\)

Phương trình (1) vô số nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=0\) (2)

Ví dụ ta chọn a = 1 ; b = 1. Để (2) xảy ra ta chọn c sao cho:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{1+c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow c=-5\)

Vậy phương trình (1) vô số nghiệm chẳng hạn như a = 1; b = 1; c = -5

P/S: Em làm còn nhiều sai sót, mong các anh chị bỏ qua ạ

Câu 19 , Đăk Lắk Cho các số thực dương x ; y ; z thỏa mãn \(x+2y+3z=2\)Tìm \(S_{max}=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)                                 GiảiĐặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c\right)>0\Rightarrow a+b+c=2\)Khi đó \(S=\sqrt{\frac{a.\frac{b}{2}}{a.\frac{b}{2}+c}}+\sqrt{\frac{\frac{b}{2}.c}{\frac{b}{2}.c+a}}+\sqrt{\frac{a.c}{a.c+2b}}\)             ...
Đọc tiếp

Câu 19 , Đăk Lắk 

Cho các số thực dương x ; y ; z thỏa mãn \(x+2y+3z=2\)

Tìm \(S_{max}=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)

                                 Giải

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c\right)>0\Rightarrow a+b+c=2\)

Khi đó \(S=\sqrt{\frac{a.\frac{b}{2}}{a.\frac{b}{2}+c}}+\sqrt{\frac{\frac{b}{2}.c}{\frac{b}{2}.c+a}}+\sqrt{\frac{a.c}{a.c+2b}}\)

               \(=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+2b}}\)

               \(=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+\left(a+b+c\right)b}}\)

              \(=\sqrt{\frac{ab}{ab+ac+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a^2+ab+ac}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+ab+b^2+bc}}\)

             \(=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

            \(\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}+\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}+\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}}{2}\left(Cauchy\right)\)

             \(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)\)

             \(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" tại a = b = c

20, Thanh hóa

Cho a;b;c > 0 thỏa abc = 1

CMR \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ac}{a^4+c^4+ac}\le1\)

                                   Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có

\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

Khi đó \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}\le\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\frac{1}{a^2+b^2+1}\)

Chứng minh tương tự \(\frac{bc}{b^4+c^4+bc}\le\frac{1}{b^2+c^2+1}\)

                                   \(\frac{ac}{a^4+c^4+ac}\le\frac{1}{a^2+c^2+1}\)

Khi đó \(VT\le\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{a^2+c^2+1}=A\)

Ta sẽ chứng minh A < 1

Thật  vậy

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x^3;y^3;z^3\right)\)

\(\Rightarrow xyz=1\)

Khi đó \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

Áp dụng bđt Cô-si có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\left(x+y\right)xy\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+1\ge\left(x+y\right)xy+1=\left(x+y\right)xy+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\)

                                    \(\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)

Khi đó \(A\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" tại x = y = z = 1

Đang trong quá trình cập nhật những câu tiếp theo , những câu tiếp theo sẽ ở trong phần bình luận

3
21 tháng 6 2019

34, Quảng Ninh

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn x + y + z < 1

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

Ta có bđt sau : \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\left(a;b>0\right)\)

Áp dụng ta được \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

                                \(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{xy+yz+zx}\)

                                \(\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

                               \(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6051}{\left(x+y+z\right)^2}\)

                                \(=\frac{6060}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6060}{1}=6060\)

Dấu "=" tại x = y = z = 1/3

21 tháng 6 2019

39, Chuyên Hưng Yên

Với x;y là các số thực thỏa mãn \(\left(x+2\right)\left(y-1\right)=\frac{9}{4}\)

Tìm \(A_{min}=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

Ta có \(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

              \(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)

Đặt  \(\hept{\begin{cases}x+1=a\\y-2=b\end{cases}}\)

Thì \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\)và giả thiết đã cho trở thành \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{2}\)

Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)(1)

Thật vậy

 \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+z^2+t^2\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)

         \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge xz+yt\)

*Nếu xz + yt < 0 thì bđt luôn đúng

*Nếu xz + yt > 0 thì bđt tương đương với

\(x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)

 \(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy bđt (1) được chứng minh

Áp dụng (1) ta được \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)

                                                                                              \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\)

Ta có \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}\)

Áp dụng bđt Cô-si có \(a^2+b^2\ge2ab\)

                                   \(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a\)

                                  \(2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

Cộng 3 vế vào được

\(3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(ab+a+b\right)=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Khi đó \(A\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{3}\)

Dấu ''=" tại \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+1=\frac{1}{2}\\y-2=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

NV
7 tháng 10 2020

\(x^2+x+13=y^2\Leftrightarrow4x^2+4x+52=4y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+51=\left(2y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=51\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=51\)

\(\Leftrightarrow...\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+16x+18}=a\\\sqrt{x^2-1}=b\\2x+4=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a^2+2b^2=c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\2b^2=\left(c-a\right)\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2b^2=b\left(c+a\right)\Leftrightarrow b\left(c+a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\Leftrightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=...\\c+a=2b\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (1) với pt ban đầu ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}b=c-a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c+a=2\left(c-a\right)\Rightarrow c=3a\)

\(\Rightarrow3\sqrt{2x^2+16x+18}=2x+4\left(x\ge-2\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(2x^2+16x+18\right)=\left(2x+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

NV
7 tháng 10 2020

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=y\left(x+y\right)\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+y=0\)

\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(ktm\right)\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=1-x\)

Thế vào pt đầu:

\(x^2-\left(1-x\right)+1=0\Leftrightarrow...\)